这个计算器会对你输入的数字列表一次性求出平均数、中位数、众数、方差、标准差、极差、个数和总和,并把总体(除以n)与样本(除以n − 1)两套结果并排显示,方便对照教材、表格软件或报告的要求。 它适用于只看平均数说明不了问题的场景,比如查看考试分数的分布、判断重复测量值的离散程度,或观察每月开支、销售额的波动。 结果下方会用文字写出总和、平均数和离差平方和的计算过程,可以与手算或表格软件的结果核对。
各统计量的含义
- 平均数(算术平均): 全部数值相加再除以个数。每个值都参与计算,所以会被极端值拉动。
- 中位数: 数值按大小排列后位于中间的值。个数为偶数时取中间两个数的平均,几乎不受极端值影响。
- 众数: 出现次数最多的值。若每个值都只出现一次则没有众数,若有多个值并列最多,则全部列出。
- 方差: 每个值与平均数之差(离差)平方后的平均。单位是原数据的平方,不容易直观理解。
- 标准差: 方差的平方根,与原数据单位相同,可以理解为“数值通常离平均数这么远”。
- 极差: 最大值减最小值。最容易计算,但只反映两端的两个值。
计算公式与n、n − 1的区别
平均数 x̄ = Σx ÷ n
总体方差 σ² = Σ(x − μ)² ÷ n,总体标准差 σ = √σ²
样本方差 s² = Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1),样本标准差 s = √s²
用哪一个,取决于手里的数据是“全部”还是“一部分”。如果拥有对象的全部数据,比如全班每个人的分数,就用总体公式(除以n)。如果数据是从更大群体中抽出的样本,比如问卷回答、抽测的几件产品,就用样本公式(除以n − 1)。 样本平均数是最贴近样本内各个数值的那个数,因此除以n平均而言会低估整体的离散程度,把分母改成n − 1就是为了修正(贝塞尔校正)。 在Excel中,STDEV.S除以n − 1,STDEV.P除以n。不同计算器和统计软件的默认设置不同,写报告时要注明用的是哪一种。
两者之比为√(n ÷ (n − 1)),数据越少差距越大。
| 数据个数n | 样本SD ÷ 总体SD | 样本SD偏大的程度 |
|---|---|---|
| 2个 | 1.4142 | 约41.4% |
| 3个 | 1.2247 | 约22.5% |
| 5个 | 1.1180 | 约11.8% |
| 10个 | 1.0541 | 约5.4% |
| 30个 | 1.0171 | 约1.7% |
| 100个 | 1.0050 | 约0.5% |
n超过30以后差距不到2%,实际工作中影响不大;但在2到5个数据时会相差10%到40%以上(n = 2时约41.4%)。
算例
下表是构建本页时用与计算器相同的公式算出的值。
| 数据 | 平均数 | 中位数 | 总体SD | 样本SD |
|---|---|---|---|---|
| 5次考试分数 (85, 90, 78, 92, 88) | 86.6 | 88 | 4.88 | 5.46 |
| 6个月的开支 (30, 32, 35, 31, 33, 300) | 76.83 | 32.5 | 99.82 | 109.34 |
| 教材例题8个数 (2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9) | 5 | 4.5 | 2 | 2.14 |
例1 考试分数85, 90, 78, 92, 88。总和为433,平均数为433 ÷ 5 = 86.6。离差平方和为119.2,总体方差为119.2 ÷ 5 = 23.84,总体标准差约4.88;按样本计算则是119.2 ÷ 4 = 29.8,标准差约5.46。可以理解为分数围绕平均分86.6上下波动约5分。
例2 含异常值的每月开支30, 32, 35, 31, 33, 300。只有一个月是300,平均数就升到约76.83,而中位数仍是32.5,更能代表普通月份。总体标准差约99.82,比平均数还大,说明这个平均数并不是“普通的一个月”。遇到这种情况,除平均数外还应给出中位数。
例3 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9。平均数为5,离差平方和为32,总体方差为32 ÷ 8 = 4,总体标准差恰好为2。众数是4,中位数是4.5。这是统计教材里常见的手算例题,很适合用来检验计算器。
例4 个数为偶数。1, 3, 5, 9中间两个数是3和5,中位数为(3 + 5) ÷ 2 = 4,平均数为18 ÷ 4 = 4.5。
常见错误与误解
- 标准差小就是好?不一定。它只表示离散程度,谈不上好坏:工业品质希望它小,而投资收益里它越大风险越高。
- 直接比较不同单位的标准差。身高(厘米)的标准差7与体重(公斤)的标准差10不能比较,应使用变异系数(标准差 ÷ 平均数)或标准化分数。
- 平均数 ± 1个标准差内一定有68%?这只是近似钟形正态分布时的经验规则,对收入、房价这类偏态分布不成立。
- 把各组平均数直接再平均。各组人数不同时,总平均数要按人数加权;把两个班的平均分直接平均会得到错误的值。
- 只有1个数据时的样本标准差。n − 1等于0,无法定义。本计算器此时显示“-”。
本计算器不能做什么
它不处理置信区间、假设检验、回归分析、加权平均,也不处理由分组频数表求平均数和方差。它不给出四分位数和百分位数,也不会自动剔除异常值,所以像小数点位置输错这样的录入错误需要你自己发现并修正。无法识别为数字的项目会被忽略,并在结果下方列出。
如何利用结果
- 平均数与中位数相差很大时,要怀疑存在异常值或分布偏斜,重新检查数值列表。
- 用标准差除以平均数(变异系数),可以比较平均水平不同的两组数据的稳定性。
- 想知道某个值的位置,可以算z = (值 − 平均数) ÷ 标准差,得到它偏离平均数几个标准差。
- 写报告时,请同时注明标准差的类型和个数,例如“平均数86.6,样本标准差5.46(n = 5)”。
常见问题
数字要用什么格式输入?
用逗号、空格、分号或换行分隔均可,也可以直接粘贴从表格复制的一列。支持负数和小数,不是数字的项目会被忽略。
应该用总体标准差还是样本标准差?
数据就是研究对象的全部时用总体标准差(n),数据是从更大群体中抽出的一部分时用样本标准差(n − 1)。问卷、实验、质量抽检这类用部分推断整体的场合,多数属于样本。
方差和标准差有什么不同?
标准差是方差的平方根。方差在数学上便于处理(相互独立的量的方差可以相加),标准差与原数据单位相同,更便于解释。
数值个数为偶数时,中位数怎么求?
先排序,再取中间两个数的平均。例如1, 3, 5, 9的中位数是(3 + 5) ÷ 2 = 4。
和Excel的结果不一样?
多半是混淆了STDEV.P(总体)和STDEV.S(样本)。本计算器两种都显示,请与对应的Excel函数比较。显示值保留到小数点后4位。
有异常值怎么办?
如果是录入错误就修正或删除;如果是真实数据就不要删,可以在平均数之外同时报告中位数,或者分别给出包含和剔除异常值的结果。
相关工具
结果仅供参考。用于论文、质量报告等正式场合时,请用专业统计软件复核。