进制转换器

什么是进制?如何按位权读数

进制由“基数”决定:每一位能取多少种数字,以及相邻两位之间相差多少倍。十进制的“253”是 2×10² + 5×10¹ + 3×10⁰。二进制的“1101”读法完全相同:1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13。无论哪种进制,把“每位数字 × 基数的位序次方”全部相加,就是对应的十进制值。下面计算过程里的“按位权展开”就是这一步。

反过来,十进制转N进制要不断除以N,再把余数从后往前读。13除以2得商6余1,6除以2得商3余0,3除以2得商1余1,1除以2得商0余1, 余数倒着排就是1101。之所以倒着读,是因为最先得到的余数是最低位(个位)。

0~16 对照表

十进制	二进制	八进制	十六进制
0	00000	0	0
1	00001	1	1
2	00010	2	2
3	00011	3	3
4	00100	4	4
5	00101	5	5
6	00110	6	6
7	00111	7	7
8	01000	10	8
9	01001	11	9
10	01010	12	A
11	01011	13	B
12	01100	14	C
13	01101	15	D
14	01110	16	E
15	01111	17	F
16	10000	20	10

十六进制的一位正好对应二进制的4位,八进制的一位对应3位。所以二进制转十六进制不需要计算:每4位分成一组,在表里查即可。例如 1011 0101 分成 B 和 5,结果是 B5。反过来,把十六进制的每一位展开成4位二进制就行。

为什么计算机使用二进制

电子电路最容易稳定处理的是两种界限分明的状态,比如电压的高与低,因此以0和1的二进制为基础。但二进制位数太长,不便阅读, 所以内存地址、错误码、颜色值用能把4位合成一个字符的十六进制来写,Unix文件权限则用能把3位合成一个字符的八进制。 1,000用二进制是1111101000(10位),八进制是1750,十六进制是3E8,越来越短。

2的幂对照表

下表在构建页面时用BigInt计算,即使超过2⁵³也是准确的。

指数	十进制	十六进制
2^0	1	1
2^1	2	2
2^2	4	4
2^3	8	8
2^4	16	10
2^5	32	20
2^6	64	40
2^7	128	80
2^8	256	100
2^10	1,024	400
2^12	4,096	1000
2^16	65,536	10000
2^20	1,048,576	100000
2^24	16,777,216	1000000
2^31	2,147,483,648	80000000
2^32	4,294,967,296	100000000
2^53	9,007,199,254,740,992	20000000000000
2^63	9,223,372,036,854,775,808	8000000000000000
2^64	18,446,744,073,709,551,616	10000000000000000

2⁸ = 256 是一个字节能表示的值的个数(0~255),2¹⁶ = 65,536 是端口号的个数(0~65535)。JavaScript的普通数值是64位浮点数, 只有在 2⁵³ − 1 = 9,007,199,254,740,991 以内才能准确表示每一个整数,超过后有些整数无法表示,所以本转换器用BigInt来计算。

精度、负数和小数的处理方式

大整数:输入的各位数字用BigInt累加计算,工具本身没有位数限制,结果准确。输入几千位以上时,浏览器可能变慢。
负数:每一栏都可以在开头输入 -。按有符号数转换,所以 -255 的二进制是 -11111111,十六进制是 -FF。
不支持小数:小数点不在允许的字符之内,0.1 这样的输入会提示“不能使用的字符”。0.1 在二进制中是无限循环小数,是浮点误差的根源,但本工具只处理整数。
前缀:在对应的栏里,0b、0o、0x(分别对应二进制、八进制、十六进制)会被自动去掉,空格和下划线也会被忽略,所以可以输入 1111_0000。
计算过程的显示:按位权展开只在输入不超过16位时显示;除法表在数非常大时最多显示40步。

负数与补码

计算机通常用补码存储负整数。在n位中,-x 表示为 2ⁿ − x。8位时,-1 是 256 − 1 = 255 = 11111111(十六进制 FF), -128 是 10000000(80),+127 是 01111111(7F)。同一个位模式 FF,按无符号数读是255,按有符号数读是 -1, 所以位模式必须先确定位宽和是否有符号才有意义。上方输入负数时会列出8、16、32、64位的表示,装不下的位宽不会显示。

位宽	有符号最小值	有符号最大值	无符号最大值
8位	-128	127	255
16位	-32,768	32,767	65,535
32位	-2,147,483,648	2,147,483,647	4,294,967,295
64位	-9,223,372,036,854,775,808	9,223,372,036,854,775,807	18,446,744,073,709,551,615

实际用途:颜色代码与 chmod

网页颜色 #FF8800 是红、绿、蓝三个字节 FF、88、00 连起来写,十进制是红255、绿136、蓝0(0x88 = 8×16 + 8 = 136)。文件权限 755 按八进制读,每一位是读 r=4、写 w=2、执行 x=1 之和。

八进制	二进制	权限
0	000	---
1	001	--x
2	010	-w-
3	011	-wx
4	100	r--
5	101	r-x
6	110	rw-
7	111	rwx

例如 chmod 755:所有者7(rwx)、所属组5(r-x)、其他人5(r-x),即 rwxr-xr-x,二进制为 111 101 101。 chmod 644 是 rw-r--r--,只有所有者可写,所有人可读。

验算过的计算示例

二进制转十进制:10110101 = 128 + 32 + 16 + 4 + 1 = 181,十六进制为 B5(1011 = B,0101 = 5)。
十六进制转十进制:十六进制的 1F4 = 1×256 + 15×16 + 4 = 500。
八进制转二进制:八进制的 755 是二进制 111 101 101,把每一位展开成3位即可。
36进制:36进制的 ZZ = 35×36 + 35 = 1,295。反过来,3,000除以36得商83余12(C),83除以36得商2余11(B),所以3,000的36进制是 2BC。
大数:9,007,199,254,740,993 的十六进制是 20000000000001。若用JavaScript普通数值,会被舍入成 9,007,199,254,740,992(十六进制 20000000000000),而本工具用BigInt能精确到最后一位。
补码:-100 的8位表示是 256 − 100 = 156 = 9C;-1 的32位表示是 FFFFFFFF。200 超出有符号8位范围(-128~127),所以8位那一行不显示,16位那一行显示 00C8。

常见错误与局限

十六进制的大小写:a~f 与 A~F 是同一个值,输出统一为大写。
相似字符:数字0与字母O、数字1与小写字母l容易混淆,导致输入无效。出错时会提示是第几个字符有问题。
数字要符合进制:二进制只能用0和1,八进制只能用0~7。在二进制栏里输入2会被拒绝。
与字符编码转换不同:本工具改变的是数的写法,把文字转成ASCII或Unicode码点是另一类处理。
要先确定位宽:不指定位宽时,同一个二进制串可能表示多个不同的值,上面FF的例子就是如此。

如何使用转换结果

把颜色值或内存地址转成十进制写进代码,或把十进制转成十六进制与调试器的显示对照。
设计位掩码时,输入数值后看二进制栏,就能知道哪些位被置1。
做作业和考试题时,把自己的计算与按位权展开和除法过程对照检查。
像网址短码这样由字母和数字组成的短标识符,用36进制表示比十进制位数更短。

常见问题

可以转换负数或小数吗?

负整数可以,在开头加 - 即可,同时会显示8、16、32、64位的补码。不支持小数点,只处理整数。

为什么最大支持到36进制?

36进制用到0~9和A~Z(10~35),是只靠数字和字母就能书写的最大进制。网址缩短和短标识符生成等场合会用到,所以一并支持。

超大的数也能精确转换吗?

可以。JavaScript普通数值超过约 9×10¹⁵(2⁵³)后整数就不准确了,但本工具用BigInt计算,没有内置的位数上限。不过输入几千位以上时,浏览器可能变慢。

可以直接粘贴带 0x 或 0b 的值吗?

可以,放在对应的栏里即可。0x(十六进制)、0b(二进制)、0o(八进制)会被自动去掉,空格和下划线也会忽略,所以 1111_0000 这样的写法也行。

为什么十六进制的一位等于4位二进制?

因为 16 = 2⁴。十六进制的一位取值0~15,正好与4位二进制能表示的16种值一一对应。同理,八进制的一位对应3位,32进制的一位对应5位。

补码表里为什么有些位宽不显示?

只显示能容纳该值的位宽。比如200超出有符号8位的范围(-128~127),所以表从16位开始。

任意进制转换(2~36进制)及计算过程