幻方(魔方阵)生成器

什么是幻方

幻方(魔方阵)是把 1 到 n² 的整数各用一次填入 n×n 方格,使每一行、每一列和两条对角线的和都相同的数阵。这个相同的和叫幻方常数。本工具用暹罗法生成 3×3 到 15×15 的奇数阶幻方,并检查全部 2n+2 条线的和是否等于常数。

幻方常数怎么算

1 到 n² 的总和为 n²(n²+1)/2,平均分到 n 行,每行的和就是再除以 n:

幻方常数 = n × (n² + 1) / 2

3 阶:1 到 9 的和是 45,分成 3 行得 15。5 阶:1 到 25 的和是 325,分成 5 行得 65。用本工具方法生成的奇数阶幻方中,中心格总是 (n²+1)/2,等于常数除以 n。

各阶幻方参考表

下表由公式在构建页面时计算。“不同幻方个数”只列出已有明确结论的较小阶数。

不存在 2 阶幻方。3 阶幻方在不计旋转和翻转时只有一种,8 种形式都是同一图案的转向或镜像。6 阶及以上的个数不易准确陈述,表中不列具体数字。

暹罗法的步骤

1. 在第一行正中间的格子里写 1。
2. 下一个数写在当前格的右上方。若超出方阵边界,则从对侧继续(从上边出去就回到最下一行,从右边出去就回到最左一列)。
3. 如果目标格已被填,就把下一个数写在当前格的正下方。
4. 重复直到写完 n²。

按此规则得到的 3 阶和 5 阶幻方如下(构建页面时由相同算法算出)。

3 阶的结果是古代“洛书”上下翻转后的样子。此外,这种方法得到的幻方中,关于中心对称的两格之和恒为 n²+1:5 阶中左上角的 17 与右下角的 9,和为 26,即 25+1。

已验算的算例

算例一:3 阶。第一行 8 + 1 + 6 = 15,第一列 8 + 3 + 4 = 15,主对角线 15,另一条对角线 15,全部等于 15。

算例二:5 阶。中间一行 4 + 6 + 13 + 20 + 22 = 65,中间一列 65,两条对角线 65 和 65,全部等于 65,中心格为 13 = (25+1)/2。

算例三:丢勒的 4 阶幻方。丢勒 1514 年的版画《忧郁 I》中的 4 阶幻方,第一行为 16、3、2、13,常数 34。各行之和 34、34、34、34,各列之和 34、34、34、34,对角线 34 与 34,四个角之和也是 34。最下一行相邻的 15 和 14 常被解读为作品年份 1514。它是偶数阶,本工具不生成。

保持幻方性质的变换

• 旋转、翻转:一个幻方可得到 8 种方向。
• 每格加同一个数:常数增加 n 乘以该数(此时数字不再是 1 到 n²)。
• 每格乘同一个数:常数也按同一倍数变化。
• 把每个数 x 换成 n²+1−x:仍是幻方,常数不变。

常见误区与局限

• 同一阶数只会得到同一个幻方。暹罗法是确定的构造;要变化请用上面的变换。
• 不支持偶数阶。4、6、8 阶等需要别的构造法,且 4 的倍数与 4k+2 阶方法不同。
• 不是“完全幻方(泛对角幻方)”。只验证行、列和两条主对角线,不保证折断的对角线也相等。
• 常数只针对“线”。四个角之和或局部小方块之和不一定相等。
• 数字范围固定为 1 到 n²。想用别的数字,可手动用上述加法或乘法变换。

怎样使用结果

课堂上可先让学生用公式预测常数,再与生成结果和验证信息对照,同时练习等差数列求和和找规律。出题时,先用“复制表格”粘贴,再留空几格,让解题者利用中心格是 (n²+1)/2 以及每条线的和等于常数来推理。复制的内容以制表符分隔,可直接粘贴到电子表格。

常见问题

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