彩票中奖概率计算器

这个计算器能告诉你什么

对“从 N 个号码里选 K 个,全部与开奖号码一致才中头奖”的玩法,计算器根据你输入的两个数字算出头奖概率是几分之一。若再输入购买注数,还会给出“买这么多注,至少有一注中头奖”的累计概率。本页统一用 45 选 6 作示例。

它不预测开奖,也不推荐号码:每一种组合的中奖概率完全相同。它适合用来核对对某个说法的直觉,比较不同玩法的难度,或在概率课上验算组合公式。

原理:组合数

不计顺序,从 N 个中选 K 个的方法数为 C(N, K) = N! ÷ (K! × (N−K)!)。以 45 选 6 为例,C(45, 6) = 45×44×43×42×41×40 ÷ (6×5×4×3×2×1) = 8,145,060,所以一注中头奖的概率是 8,145,060 分之一,约 0.0000123%。

计算器采用乘除交替的方式而不是直接算庞大的阶乘,中间结果也用精确整数(BigInt)保存,号码总数较大时结果依然不会失真。

累计概率假设每注相互独立,单注概率为 p,买 m 注时至少中一次的概率为 1 − (1 − p)^m。p 很小时它几乎等于 m × p,也就是注数翻倍概率大约才翻倍,而且永远达不到 100%。

45 选 6 加 1 个特别号时的各等级概率

设想开出 6 个主号后,再从其余 39 个号码中开出 1 个特别号。下表由页面构建时按组合公式计算,只给出注数和概率,不涉及奖金金额,也不对应任何真实彩票的规则。

五行合计 194,130 注,占全部 8,145,060 注的约 2.38%,绝大部分来自“中 3 个”。计数方法:恰好中 j 个,就是从 6 个中奖号里选 j 个、从 39 个未中奖号里选 6−j 个,即 C(6, j) × C(39, 6−j)。中 5 个时,39 个号中有 1 个是特别号,所以“含特别号”有 1 种,“不含”有 38 种。

玩法不同,组合数差别很大

下表列出几种单一号码池的玩法,用来体会号码范围和选取个数变化带来的影响;它们只是公式的示例,不对应具体彩票。

从 45 选 6 变成 49 选 6,难度就上升约 1.7 倍。若玩法有两个独立号码池(例如从一个池选 5 个、另一个池选 1 个),要把各池的组合数相乘。本计算器只处理单池,双池玩法请分别计算后手动相乘。

已验算的算例

算例一:每周 1 注,买满一年(52 注)。45 选 6 的头奖累计概率为 1 − (1 − 1/8,145,060)⁵² ≈ 0.000638%,约 156,636 分之一。

算例二:每周 1 注,连买五年(260 注)。概率约 0.003192%,约 31,328 分之一,依然小到可以忽略。

算例三:大量注数。即使独立随机买 10 万注,也只有约 1.22%;买与组合总数相同的 8,145,060 注(可重复),概率约 63.2%(= 1 − 1/e),并不是百分之百。只有把所有互不相同的组合全部买齐才是 100%。

常见误区

• “热门号码更容易中”:每期开奖相互独立,过去开得多不会改变下一期的概率。
• “很久没开的号码该出了”:这是赌徒谬误。硬币连续十次正面,下一次正面的概率仍是 1/2。
• “1、2、3、4、5、6 不可能开出”:它和其他任何组合概率一样。区别只在于选这类热门图案的人更多,中奖时分奖的人也更多。
• “号码分散一点概率更高”:概率只取决于你持有多少种互不相同的组合,与图案无关。
• “机选和自选概率不同”:完全相同。

局限与不适用的情形

• 每一位都要选 0~9 这类顺序有意义的玩法,应该用排列或幂(如 10 的位数次方)而不是组合来计数。
• 含特别号或两个号码池的等级,无法由单次输入直接得到,请参考上表的思路分别计算后相乘。
• 中奖概率不等于期望收益。彩票只把销售额的一部分作为奖金返还,平均来看每注的期望收益为负,返还金额低于购买金额。
• N 超过 500 时会拒绝计算,因为结果太大而无法有效显示。

如何看待计算结果

如果参与,请把花费当作普通娱乐支出,并提前设定严格的上限。本页的数字表明,增加注数只是让一个极小的概率稍微变大一点,任何买法都无法让彩票成为一种投资。请用它来调整预期,而不是为多花钱找理由。如果购彩已经给你带来困扰,请向当地的相关服务机构求助。

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常见问题