抛硬币 & 掷骰子

这个页面能做什么

你可以一次抛 1、2、3 或 5 枚硬币,或者掷 1 到 4 个骰子(4、6、8、10、12、20 面可选),页面会列出每一次的结果,掷多个骰子时还会给出总和。 它适合用来做轻松的小决定:谁先走、中午吃什么、先做哪件家务,或者玩桌游、跑团时手边没有骰子的时候应急。 结果只在你的浏览器里生成,不会保存也不会上传,再抛一次或刷新页面就没有了。

概率的基本思路:数清楚有多少种情况

公平硬币出现正面的概率是 1/2,公平的 n 面骰子每一面出现的概率是 1/n。每一次投掷彼此独立,前一次的结果不会影响下一次。 同时投掷多个物体时,某个事件的概率等于“符合条件的情况数 ÷ 全部情况数”。n 枚硬币共有 2 的 n 次方种结果,c 个 s 面骰子则有 s 的 c 次方种。 下面所有表格都是页面生成时按这个计数方法算出来的,不是手工输入的数字,它们描述的是理想的公平随机。

多枚硬币:恰好 k 枚正面的概率

n 枚里有 k 枚正面的排法数是组合数 C(n,k),而 2 的 n 次方种正反序列出现的可能性都相同,所以概率就是 C(n,k) ÷ 2 的 n 次方。

2 枚硬币(共 4 种)

3 枚硬币(共 8 种)

5 枚硬币(共 32 种)

两枚硬币时“一正一反”是 50%,因为(正,反)和(反,正)两种排法都算;“两枚都是正面”只有 25%。很多人以为只有三种结果、每种 1/3,这是错的,因为两枚硬币是可以区分的。

两个骰子的点数和:为什么 7 最常见

单个骰子每个点数的概率相同,但两个骰子的和并不均匀:和为 7 的有 6 种(16.67%),和为 2 或 12 各只有 1 种(2.78%)。凡是把点数相加的游戏,中间的数字都会比两端更常出现。

算例 1:5 枚硬币“少数服从多数”

抛 5 枚硬币,正面不少于 3 枚就算“正面赢”。由上表,正面为 3、4、5 枚的情况数是 10 + 5 + 1 = 16,占 32 种的一半,即 50%。枚数为奇数不会平局,所以这种表决与只抛一枚一样公平。5 枚全是正面的概率为 1/32,也就是 3.125%。

算例 2:三个、四个六面骰子和 d20

三个六面骰子共有 6 的 3 次方 = 216 种结果,点数和不低于 15 的有 20 种,概率 9.26%;和为 10 或 11 的有 54 种,概率 25.00%。 四个骰子里至少出现一个 6 的概率,用“一个 6 都没有”的 (5/6) 的 4 次方来反推:1 − (5/6)⁴ = 51.77%。 一个 d20 掷出 15 或更高的概率是 6/20 = 30.00%;如果规则允许掷两次取较好的一次,只有两次都不超过 14 才算失败,概率变成 1 − (14/20)² = 51.00%。从 30% 提高到 51%,可见这类“优势”规则的威力。

赌徒谬误与真实硬币的局限

• 连续出现正面后,反面并不会“该出了”。每次独立,出现四次正面后第五次依然是 50%。
• 三枚硬币全部相同的概率是 2/8 = 25%,这种短连续很常见。想判断随机源是否有偏差,需要成百上千次的记录,而不是几次结果。
• 实际抛一枚物理硬币时,有研究(Diaconis 等人,2007 年)常被引用:硬币有略微(约百分之一的量级)更容易以抛出时朝上的那一面落地的倾向。本页使用的是计算机随机数,没有这种物理偏差。
• 随机数来自浏览器的 Math.random,用来玩游戏、做日常决定足够了,但它不是密码学安全的随机源,不要用于密码、令牌等安全用途。
• 涉及金钱、纠纷、正式抽奖或医疗判断的事情,不要交给抛硬币。需要让别人信服的抽签,应采用大家都能亲眼看到、可以核对的方式。

怎样挑选合适的骰子

二选一用一枚硬币;三到六个选项用 d6;八个选项用 d8;十个选项用 d10(把结果当作 1 到 10);十二个选项用 d12。 如果选项数不能整除面数,就把多出来的点数当作“重掷”。例如五选一用 d6 时,掷到 6 就重来,五个选项的概率仍然相等;若把 6 并入选项 1,选项 1 的概率就会翻倍。 需要从一个范围内不重复地抽多个数字时,用随机数生成器更合适。

怎样使用结果

掷之前先说好每种结果代表什么。看到结果后才说“正面就去咖啡馆”,很容易引起争执。另外也可以留意自己的反应:硬币落下时如果心里一沉,那份失落往往就是你真正想要的答案,你完全可以不照硬币办。 玩游戏时,先说清楚掷几个骰子、目标是多少,大家对规则才不会有分歧。

常见问题

相关工具

• 随机数生成器 - 在指定范围内抽取数字
• 随机彩票号码生成器 - 随机生成号码组合
• 随机分组工具 - 把一群人随机分成几组