宝くじ当選確率計算機

この計算機でわかること

「N個の数字からK個を選び、すべてが当せん数字と一致すれば最高等級」という形式のくじについて、入力した2つの数字から確率が「何分の1」かを計算します。購入枚数も入れると、「その枚数を買ったとき、少なくとも1枚が当たる確率」もわかります。ページ全体では、45個から6個を選ぶ形式を例として使います。

当せんを予想したり番号をすすめたりする道具ではありません。どの組み合わせも出る確率は完全に同じです。宝くじの難しさを数字で実感したいとき、形式による難しさの違いを比べたいとき、確率の授業で組み合わせの公式を検算したいときなどに使えます。

計算の原理:組み合わせ

順番を区別せずN個からK個を選ぶ方法の数は C(N, K) = N! ÷ (K! × (N−K)!) です。45個から6個の場合、C(45, 6) = 45×44×43×42×41×40 ÷ (6×5×4×3×2×1) = 8,145,060 通りで、1枚が最高等級に当たる確率は8,145,060分の1(約0.0000123%)です。

計算機は巨大な階乗を作らず、掛け算と割り算を交互に行い、途中の値も正確な整数(BigInt)で保持するため、数字の総数が大きくても結果がずれません。

購入枚数mの累積確率は、各枚が独立だと仮定し、1枚あたりの確率をpとして 1 − (1 − p)^m で求めます。pが非常に小さいとき、これはほぼ m × p に等しく、枚数を2倍にすればほぼ2倍になるだけで、100%には届きません。

45個から6個+ボーナス数字1個の等級別確率

たとえば本数字6個に加えて、残り39個の中からボーナス数字が1個選ばれる形式を考えます。下の表はビルド時に組み合わせの公式で計算した値です。ここでは当選枚数の数と確率だけを示し、賞金額や実在のくじの規則には触れていません。

5つの区分を合計すると 194,130 通りで、全 8,145,060 通りの約 2.38% です。その大部分は「3個一致」です。数え方は、ちょうどj個一致なら「当せん数字6個からj個」×「当せんしない39個から6−j個」で C(6, j) × C(39, 6−j)。5個一致は、39個のうち1個がボーナス数字なので、ボーナス一致が1通り、不一致が38通りに分かれます。

形式による組み合わせ数の違い

数字の総数や選ぶ個数が少し変わるだけで、組み合わせの数は大きく変わります。下の表は公式の例であり、特定のくじを説明するものではありません。

45個から6個が49個から6個になるだけで、約1.7倍当たりにくくなります。数字の組が2つに分かれる形式(たとえば一方の群から5個、もう一方の群から1個)は、それぞれの組み合わせ数を掛け合わせます。この計算機は組が1つの形式向けなので、2つの組がある場合は別々に求めて掛けてください。

検算済みの計算例

例1:毎週1枚を1年間(52枚)45個から6個の形式で、少なくとも1回最高等級が出る確率は 1 − (1 − 1/8,145,060)⁵² ≈ 0.000638%、約156,636分の1です。

例2:毎週1枚を5年間(260枚)確率は約0.003192%、約31,328分の1です。5年続けても、極めて小さいままです。

例3:10万枚の独立した枚数約1.22%にとどまります。組み合わせの総数と同じ8,145,060枚を、重複を許してランダムに買っても確率は約63.2%(= 1 − 1/e)で、確実にはなりません。すべて異なる組み合わせを揃えて初めて100%です。

よくある誤解

• よく出る数字は当たりやすい:抽せんは毎回独立で、過去の出方は次回の確率を変えません。
• しばらく出ていない数字はそろそろ出る:これは「ギャンブラーの誤謬」です。コインが10回続けて表でも、次に表が出る確率は1/2のままです。
• 1・2・3・4・5・6は出ない:他の組み合わせとまったく同じ確率です。人気のある並びは選ぶ人が多く、当たった場合に分け合う人数が増えるという違いはあります。
• 数字をばらけさせると確率が上がる:確率に関係するのは、異なる組み合わせを何通り持つかだけです。
• 自分で選ぶ場合とお任せで確率が違う:同じです。

限界と、この計算機を使わない方がよい場合

• 桁ごとに0〜9を選ぶ形式のように順番が意味を持つ場合は、組み合わせではなく順列やべき乗(10の桁数乗など)で数えます。
• ボーナス数字や2つの数字の組がある等級は、入力欄だけでは直接求められません。上の表を手本に、別々に求めて掛け合わせてください。
• 当選確率は期待値ではありません。くじは売上の一部しか賞金として還元しない仕組みのため、平均すると購入額を下回ります。つまり1枚あたりの期待値はマイナスです。
• Nが500を超える入力は、結果が大きくなりすぎるため受け付けません。

結果の活用方法

遊ぶ場合は、ほかの娯楽と同じく、使う金額の上限をあらかじめ決めておくのが基本です。この計算機の数字は、枚数を増やしても極めて小さい確率がわずかに増えるだけで、どんな買い方でもくじが投資にならないことを示しています。期待を現実に合わせるために使ってください。賭け事で困りごとがあるときは、地域の相談窓口を利用してください。

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よくある質問